“Con lo único que me siento feliz es con las matemáticas. La nieve, el hielo, las cifras. Para mí, el sistema numérico es como la vida humana. Primero están los números naturales, los que son enteros y positivos. Son los números de un niño pequeño. Pero la conciencia humana se amplía y el niño descubre el deseo. ¿Saben cuál es la expresión matemática para el deseo? Los números negativos: la formalización de la sensación de que te falta algo. Entonces el niño descubre los espacios intermedios entre las piedras, entre las personas, entre los números, y aparecen las fracciones. Es como una especie de locura, porque nunca se llega al final, nunca se detienen allí. Hay números que no podemos ni empezar a comprender. Las matemáticas son un paisaje inmenso y abierto. Te diriges hacia el horizonte que siempre retrocede. Como en Groenlandia. Y yo soy incapaz de vivir sin eso. Por eso no puedo estar encerrada”.

Estas palabras son del personaje llamado Smilla, una matemática fascinada por los fractales de la nieve y el infinito, en la película danesa “Smilla, misterio en la nieve”. El film se centra en la cosmovisión de esta mujer para quien el vínculo entre vida y matemática, y más concretamente, entre la existencia y los números es vital.

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Un punto es lo que no puede dividirse. Una línea es una longitud sin anchura. No podemos negar que estos son conceptos poéticos.

¿Y si nos lanzamos a una frase como la siguiente?:

"DÁBALE ARROZ A LA ZORRA EL ABAD".

¿Qué tiene de particular? ¿Qué la hace única y misteriosa? Es una frase juguetona, es lo que en matemática se define como “palíndromo”. ¿Una frase construida matemáticamente o narrativamente calculada?

Los matemáticos clasifican los números en reales, racionales, irracionales... pero también nombran a los números con diversos adjetivos: capicúas, perfectos, amigos, triangulares, cuadrados, cúbicos, mágicos, felices, primos, etc.

Los números palindrómicos suelen llamarse "capicúas". Los aficionados a los juegos de palabras, así como los numerólogos se han interesado desde siempre por la palindromía de todo tipo, seguramente debido al placer estético que nos causa la peculiar simetría de los palíndromos.

"Dábale arroz a la zorra el abad" es una frase palindrómica o capicúa, puede leerse de derecha a izquierda o de izquierda a derecha y en cualquiera de las dos formas dice exactamente lo mismo. Hagan la prueba y verán que es cierto.

Los palíndromos surgen en los lugares y disciplinas más inesperadas: hay melodías que pueden ejecutarse desde el final hacia delante o desde adelante hacia el final y suenan igual; hay dibujos y pinturas concebidos con simetría axial; casi todos los animales muestran simetría bilateral -simetría con respecto a un plano- especialmente el hombre.

DE PALÍNDROMOS A PARADOJAS

Hay otro fenómeno fronterizo entre la matemática y la literatura, entre la matemática y la lógica, entre la matemática y la filosofía... Sí, nos referimos a las paradojas.

Al matemático y filósofo Bertrand Russell le fascinaban las paradojas y pasó mucho tiempo de su vida dedicado a disfrutarlas. Como también era un amante de la literatura resultó hechizado por una novela de Laurence Sterne llamada “Vida y opiniones del caballero Tristam Shandy”.

En su obra Misticismo y lógica, Bertrand Russell se refería a la ´paradoja Shandy´ de este modo:

“Tristram Shandy, como se sabe, invirtió dos años para hacer la crónica de los dos primeros días de su vida, y se lamentaba de que a ese ritmo el material se acumularía más rápidamente de lo que él era capaz de elaborarlo, de suerte que con el paso de los años cada vez estaría más lejos del final de su relato. Ahora bien; yo sostengo que si él hubiese vivido eternamente sin sentirse cansado de su trabajo, entonces, aun en el caso de que su vida hubiese estado tan repleta de acontecimientos como cuando comenzó, ninguna parte de su biografía habría quedado sin escribirse. En efecto: el día centésimo será escrito en el año centésimo, el día milésimo en el año milésimo, y así sucesivamente. Cualquier día que elijamos, tan lejano que se pierdan las esperanzas de llegar a él, ese día será descripto en el año correspondiente. Así, cualquier día que pueda mencionarse será escrito más tarde o más temprano, y, por ende, ninguna parte de la biografía quedará permanentemente por escribir. Esta proposición paradójica, pero perfectamente verdadera, depende del hecho de que el número de días de todo el tiempo no es mayor que el número de años”.

Tristam Shandy es un personaje de la obra del novelista inglés Laurence Sterne quien publicó la novela más insólita, sorpresiva y revolucionaria del siglo XVIII: Vida y opiniones del caballero Tristam Shandy.

El mismo protagonista del relato es quien se dispone a contar su vida, pero no puede jamás concluirla por dos razones: porque sigue viviéndola y se prolonga en el tiempo sin que el relato la alcance; y porque la índole de la novela es absolutamente digresiva y su narración toma todos los caminos laterales más inverosímiles. Las opiniones de Tristam son desopilantes, tanto como los recursos formales del libro en el que hay capítulos de una sola línea, otros en blanco para que los redacte el propio lector y otros escritos en cuatro idiomas.

La novela Tristram Shandy es una obra sobre la colisión entre lenguaje y conciencia. Mientras el narrador relata su historia, se le ocurren constantemente nuevos pensamientos, de forma que las reiteradas asociaciones de ideas van arruinando paulatinamente el texto que escribe y lo convierten en un, aparente, paisaje en ruinas. El pensamiento es más rápido que la escritura. Por eso el narrador pronto se encuentra con un texto en el que lo que deber ser relatado toma la forma de una masa inmensa y en permanente aumento que empuja hacia adelante. Esto se hace evidente desde las primeras páginas: en realidad, el narrador Tristram quiere iniciar la historia de su vida por el principio de los principios, pero inmediatamente cae en la cuenta de que también este hecho tiene su propia historia, que es necesario relatar.

Sterne, su autor, lo sabía tan bien como lo sabía el personaje Tristram, que el problema era escribir diez veces más rápido de lo que había vivido y cien veces más rápido de lo que estaba viviendo a fin de admitir su vida en su obra: así se condenaba a escribir como un esclavo y a dejar de vivir.

El padre de Tristam, Walter Shandy, descubrió que la tristrampendia que estaba escribiendo por la educación de su hijo resultaba inútil porque a medida que escribía (y le costaba mucho) su hijo iba creciendo y superando las etapas sobre las que estaba disertando. Y Tristram se encuentra con que jamás podrá llegar a terminar de contarnos su vida, ya que sus digresiones-necesarias para que la comprendamos-le obligan a escribir siempre por detrás de los acontecimientos. Dado que esta narración previa exige asimismo algunos comentarios, se va retrotrayendo cada vez más y paulatinamente acaba en una suerte de meandro laberíntico de historias.

LAS CLASES DE PERSONAS Y LAS PARADOJAS

A la paradoja la podemos entender en dos sentidos: uno más amplio, como aquello que va en contra de la opinión general y otro, más concreto, como aquello que encierra contradicción. Es este segundo sentido el más querido en matemáticas, aunque el primero no deja de tener su interés.

Vamos a jugar un poco con el segundo sentido de las paradojas para hacer la delicia de los matemáticos. Analicemos estas tres afirmaciones con aroma contradictorio:

1) Hay tres clases de personas: las que saben contar y las que no.

2) Hay dos grupos de personas en el mundo; aquellos que creen que el mundo puede ser
dividido en dos grupos de personas, y aquellos que no lo creen."

3) Hay dos grupos de personas en el mundo: aquellos que pueden ser categorizados en uno de dos grupos de personas, y aquellos que no."

¿Cuáles son las posibles lecturas de estas afirmaciones?

1) Esta nos dice que el autor de la frase no sabe contar. No hay contradicción, aunque sí sorpresa. –Se podría hacer la observación que en realidad son tres las clases de personas, y no dos-.

2) Evidentemente, quien escribe pertenece al primer grupo. No hay contradicción, aunque sí sorpresa, y cierta sensación de caída en una secuencia infinita. – Aquí podríamos señalar con razón que la segunda de las estrofas no es una paradoja completa, y sugerir añadir la frase "Yo pertenezco a este último grupo".

3) Este es el ejemplo que más se acerca a la paradoja en el sentido de contradicción, aunque tampoco lo es: en realidad es una demostración de que el conjunto de las personas que no pueden ser categorizadas en dos grupos es el conjunto vacío.

LA PARADÓJICA MAFALDA

Las tiras de Mafalda, del dibujante y escritor Quino, tienen momentos matemáticos y paradójicos memorables, traemos algunos de ellos para sonreír un rato.

La pequeña Libertad y el triángulo

Mafalda y los porcentajes

Manolito y el orden de los factores

DE LAS PARADOJAS A LOS LABERINTOS

Habíamos observado que la narración del relato de Tristam Shamdy exigía constantemente algunos comentarios paralelos al margen, y así su escritura se iba retrotrayendo cada vez más y paulatinamente acababa en una suerte de laberinto de historias.

Los laberintos son “construcciones” u “objetos” muy queridos por los matemáticos, los escritores y los artistas en general.

Existe un procedimiento mecánico -un algoritmo, para usar un término matemático- que puede solucionar los laberintos, es decir, encontrar una salida, incluyendo los que están conectados en forma múltiple, con circuitos cerrados que rodean la meta.

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Su mejor formulación se da en el libro de Edouard Lucas "Recréations mathématiques" (volumen 1, 1882) y aquí les pasamos las instrucciones –por si quedan atrapados en uno:

“Conforme camina a través de un laberinto, dibuje una línea en un costado del camino, digamos a la derecha. Cuando llegue a una nueva unión de caminos, tome el que desee. Si al caminar a lo largo de un sendero, regresa a una unión que previamente ha visitado, o llega a un callejón sin salida, dé la vuelta y regrese por donde llegó. Si al caminar a lo largo de un camino anterior, ya recorrido (un camino marcado sobre la izquierda), llega a una unión ya visitada, tome un nuevo camino, si uno está disponible; de otra manera tome uno de los viejos caminos. Nunca entre a un camino que esté marcado por ambos lados”.

LOS LABERINTOS Y LOS FRACTALES DE KAFKA & BORGES

Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descripto mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

Las formas fractales, las formas en las que las partes se asemejan al todo, están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías (las formas básicas que sólo necesitan la mitad de información genética) y las espirales (las formas de crecimiento y desarrollo de la forma básica hacia la ocupación de un mayor espacio). También las formas más sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biológicas, es decir posibilitan catástrofes (hechos extraordinarios) que dan lugar a nuevas realidades más complejas, como las hojas que presentan una morfología similar a la pequeña rama de la que forman parte que, a su vez, es similar a la forma del árbol, y sin embargo cualitativamente no es lo mismo una hoja (forma biológica simple), que una rama o un árbol (forma biológica compleja).

Los fractales se usan tanto en la composición armónica y rítmica de una melodía como en la síntesis de sonidos. Son motivos también de contacto entre el arte y la ciencia, un ejemplo de eso es el científico-poeta chileno-alemán Mario Markus.

En las artes gráficas los fractales aparecen en programas informáticos como Apophysis o Ultra Fractal con los que se pueden hacer imágenes fractales con técnicas muy diversas; cambiando parámetros, variando la geometría de triángulos o con transformaciones aleatorias (a veces llamadas "mutaciones").

En una excelente nota de Pablo Paniagua, que transcribimos parcialmente aquí, Pablo describe lo que es la “literatura fractal” (los siguientes extractos fueron tomados del blog de Pablo).

Pablo señala que está claro que a una oración, compuesta por un sistema de signos con sus significados y significantes, no se la puede someter a la secuencia de un algoritmo fractal, pues perdería su coherencia sintáctica; pero lo que sí se puede hacer es imitar los modelos fractales, respetando la sintaxis, para generar oraciones y textos que conformarán lo que se puede denominar como “literatura fractal”.

Por lo tanto, “la literatura fractal sería aquella que multiplica los signos lingüísticos, dentro de un orden sintáctico, como si se tratase de un juego de espejos que busca en esa repetición, en ese juego, una dinámica dentro de lo infinito, de lo laberíntico o lo circular”; o, dicho de una manera más sencilla: “La literatura fractal es aquella donde se multiplican por sí mismos los elementos que la componen”.

GENIOS DE LA FRACTALIDAD CONTADA

“El Proceso” y “El Castillo” son las dos novelas de Franz Kafka que están escritas bajo un marcado predominio de lo fractal. En las dos se expresa la imposibilidad del individuo frente a los mecanismos absurdos del poder, sus burocracias y sus mentiras. En ellas sus protagonistas han de seguir una tortuosa ruta, mental y física, para enfrentar una realidad que les sobrepasa con una serie de problemas que se encadenan sin encontrar nunca un final, repitiéndose dentro de un laberinto legal que somete al individuo frente a las arbitrariedades del poder que le gobierna y sus representantes. ´

Este modo argumental tiene una gran similitud con lo que establece la dinámica fractal, de algo que empieza desde un punto concreto para expandirse en el espacio o en el tiempo, multiplicándose de manera iterativa, como son, en el caso kafkiano, el problema y el absurdo que lo genera, los elementos que se repiten una y otra vez a lo largo de la trama, en una lucha ideológica en la que las partes involucradas multiplican, a su vez, todos los motivos que demuestran cada acto de las mismas para buscar su propia justificación.

La progresión fractal de los elementos argumentales, en estas dos novelas, hacen de la narración un complejo sistema que se determina como lo más característico e importante dentro de la estructura de la propia obra literaria. La figura del absurdo se reproduce por si misma para expandirse, con todos sus elementos connotativos adyacentes, hacia una lógica fractal que se constituye como el componente primario del término que se conoce como “kafkiano”.

Respecto a Jorge Luis Borges (declarado admirador de Franz Kafka), en casi toda su obra está presente, en mayor o menor grado, una perspectiva fractal que se caracteriza como lo más significativo del “pensamiento borgeano” y su universo literario.

En sus creaciones podemos encontrar personajes inmortales, memorias que logran existir a través del tiempo y fuera del primer cuerpo que las contuvo, edificaciones laberínticas e imposibles, libros cíclicos que terminan donde empiezan y que se bifurcan en el tiempo, laberintos y más laberintos, granos de arena que se multiplican en sueños, una esfera donde se concentra el Universo entero desde sus diferentes configuraciones, los espejos y sus reflejos, sus juegos con el tiempo y los espacios, el giro sorpresivo de sus historias; todo en él, y su inteligencia, está tocado por el orden preciso de lo fractal.

No debemos confundir la tremenda erudición de Borges con esa inteligencia suya, que se basa, precisamente, en el juego que hace con la existencia y con lo que está más allá, con lo metafísico y el devenir, con lo que se esconde detrás de las palabras y sus ideas, lo que permanece como fondo de su literatura, libre de toda superficialidad, para adentrarse a descifrar los enigmas de esa misma inteligencia que la hacen única, genuina y genial.

EJEMPLOS DE LITERATURA FRACTAL

Los ejemplos con los que Pablo Panigua ilustra, de manera más práctica y detallada, todo lo expuesto hasta ahora, son de su autoría, y con ellos el autor admite que no se agotan las posibilidades en la búsqueda de lo que es la literatura fractal.

Desdoblamientos

Ya nada es igual desde que salí por la puerta y me quedé solo en casa, frente al televisor. Ahora voy bajando por las escaleras y sigo aquí, sentado en un sillón, pensando en mí que ya estoy en la calle. Continúo con el paso y me dirijo hacia otro lugar, donde pueda reconocerme sin ninguna duda, ya fuera de esta habitación… Allí estoy, sentado en un banco del parque; al pasar por mi lado me saludo. “Hola, ¿cómo estas?”, me respondo. “¿Y tú?”, me pregunto. “Bien, muy bien, sentado aquí en el sillón frente al televisor”, termino por contestar… Ya nada es igual desde entonces, porque ya no estoy aquí, ni en el parque, ni caminando; sólo sé que algún día seré lo que no soy y estaré donde no estoy, pues todo lo ignoro sobre este asunto que me es tan incomprensible.

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Visión caleidoscópica

Estoy afuera y veo a los de adentro, pero ellos no me ven, y eso que les hago señales con los brazos para llamar su atención. Ellos giran a mi alrededor sin mirarme, pues caminan con la vista fija en el suelo, contando sus pasos. Son catorce hermanos gemelos que dan vueltas dentro de una habitación circular, o uno solo frente a trece espejos fraccionados. No lo sé; trataré de detectar cualquier movimiento distinto en todos ellos, pero por ahora es imposible. No puedo ver nada más que mis pies al caminar, cuando siento que alguien me observa desde afuera moviendo los brazos, para llamar mi atención. Creo que son trece hermanos gemelos idénticos a mí.

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Dinámica circular

Vasta es su mirada, penetrante, tanto que la noto dentro de mi cabeza, inspeccionando los recovecos de mis pensamientos y mucho más allá, para adivinar lo que ahora no pienso y luego pensaré; así se anticipa siempre a mí… Ahora siento que él, con su vasta mirada, soy yo; porque no me deja ser, porque asume todos mis actos antes de que yo los pueda realizar. Vive mi vida antes que yo, y piensa y habla antes de que yo lo pueda hacer. Me roba el pensamiento y la palabra, y camina todo el día frente a mí con su vasta mirada, penetrante, tanto que la noto dentro de mi cabeza inspeccionando los recovecos de mis pensamientos y mucho más allá, para adivinar lo que ahora no pienso y luego pensaré.

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Dinámica cíclica

El agua cae del cielo y no hay nubes, sólo una atmósfera transparente, pero el agua, como un torrente, me deshace a la manera de un terrón de azúcar. Mi sustancia, diluida en el agua fluvial, corre por las hendiduras de la piedra escurriéndose hacia lugares ignorados, tanto como ese agua que cae de un cielo transparente y sin nubes, la misma que me deshizo igual que un terrón de azúcar, para escurrirse hacia los rincones desconocidos de un paraje que se mojó entero con mi sustancia y con el agua inesperada de un cielo transparente y sin nubes, que se precipitó como un torrente sobre mí…

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Dinámica laberíntica

Dentro de cualquier duda hay otra duda que se originó en esa incapacidad para definir cuál es la duda que la contiene, círculo en movimiento que se expande y regenera, que se alimenta de la propia ausencia de decisión. Las probabilidades se ven todas inadecuadas, cuando ninguna se impone sobre la otra y la duda en sí. Nada es posible y todo lo es a la vez, probabilidades que ahora se contienen dentro de esa duda, que la procuran. Más allá de cualquier duda hay otra duda, más allá de cualquier razón hay otra razón. Razones para la duda, dudas para razonar. Probabilidades que se esconden tras la razón y la elección, para acabar con la duda que nació a partir de esas mismas probabilidades, de la duda contenida dentro de otra duda y de su incapacidad para no dudar.

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Dinámica en la repetición

Él dice que yo digo lo que no pienso, y seguro que piensa que no digo lo que pienso; eso es lógico porque una cosa es lo contrario de la otra, pero así dicho, según lo pienso, suena bien; aunque, como digo lo que no pienso, no puedo pensar según creo que lo pienso, ya suene bien o sea cierto; pero esto es así desde el punto de vista de cómo él lo piensa y no cómo yo lo pienso; pero al final, estas cosas de creer lo que piensa cada cual, cuando se habla sobre lo que piensa o dice el otro, son cuestiones de ser pensadas.

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Dinámica de mutación

La naturaleza muda con las estaciones, como cuando yo me quedo sin palabras. La voz ya no me sale, ya sea por falta de ideas o por afonía. Lo peor es la afonía mental que me asalta en mañanas, nada más despertar, laxitud de la memoria que se extiende hasta que tengo el desayuno sobre la mesa, que luego muda de ahí hacia mi estómago. La ducha ya me despierta de verdad, cuando se levantan las palabras que mudan en ideas, para que la afonía desaparezca de mi garganta. En ese transcurso de tiempo, como una muda de estación, pasó una mujer que nunca dijo una palabra, cuando tomó aquel tren que realizaba su trayecto entre el verano y el otoño. Ahora las hojas secas mudaron de las ramas para formar una alfombra sobre el suelo, y ella camina, al llegar a su destino, con un paraguas sin tela por encima… Pero luego todo cambió de su lugar, la señora muda y las estaciones que mudan, pues al abrir la puerta y salir de la casa me topé con el invierno. No me gusta el frío porque me deja más que mudo, no lo puedo soportar y regreso hacia la casa. Entonces, es cuando cierro los ojos y pienso en la primavera, para que todo mude dentro mi ser.

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Juego de espejos

Cuando la vi por segunda vez, ella ya no estaba, se había ido. Menos mal que la llevé conmigo, en la emulsión de plata de la película fotográfica, que luego revelé. Del negativo la pasé al positivo con un chorro de luz y luego la fijé sobre un papel bajo los líquidos. Entonces apareció poco a poco, mirándome desde dentro del fluido. De pronto me pude ver reflejado en sus pupilas, mi silueta, y también frente a ella dos veces: en ese instante y cuando le tomé la fotografía; instantes triplicados pues ella también estaba en mi memoria. Tantas veces, tantos reflejos, tan engañosa la realidad, como un juego de espejos que multiplica sin querer todos los instantes.

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Dinámica concéntrica

Cuando llegué a aquel lugar ya no estaba, se había ido o se lo habían llevado. Sólo encontré un tremendo vacío, como el de antes de ser gestado, cuando ni siquiera suponía un proyecto en la mente de mis padres. Allí, en este lugar inexistente, decidí esperar por si regresaba con la esperanza de advenir el principio y con la sospecha de que podría estar muerto… El despertar, en este caso, sería el regreso del lugar y a la vez el mío a él, algo que nos uniría en una misma dimensión. Pero ahí continué, en el trance de la espera, sin existir y rodeado de esa nada, como un pensamiento único que trataba descifrar qué paso con ese lugar desaparecido que tal vez fuera mi propia vida, la que aún me niego a admitir que se extinguió. Espero que todo sea un mal sueño y, al despertar, me encuentre con algo más que este pensamiento para saber que existo.

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Proceso invertido

“Visiones invisibles”, así dicho, tiene una doble interpretación: ¿Es invisible lo que no se ve o lo es el acto de mirar? En el primer caso sería la nada, en el segundo una mirada vacía; visión invisible en los dos. ¿Qué más dará entonces lo uno o lo otro, cuando, a pesar de que en esencia son diferentes, el resultado es idéntico? Ambos se contienen en sí mismos, con una negación y una afirmación que los conduce hacia la nada y al vacío. Así son todas las visiones invisibles, no existen, y tú aquí, por tanto, no has leído nada.

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Y así se puede experimentar en la búsqueda de nuevas soluciones cuando estos ejemplos, en su reformulación, se podrían mezclar entre ellos en un sin fin de posibilidades.

Si hay algo que siempre debemos agradecerle a la matemática, a la literatura, al arte en general y a la naturaleza es la inmensidad de mundos que nos abren a cada instante alimentando constantemente nuestra capacidad de asombro.